"¿Qué es un límite?" parte 2 : definición formal explicada de forma constructiva e intuitiva.

Más de "¿Qué es un límite?" : 

• Parte 1 : definición informal.
• parte 3 : ¿Cómo demostrar un límite usando la definición ε, δ?

En la parte 1 de la serie “¿Qué es un límite?” explicamos y dimos una definición informal de qué es un límite :

• Téngase una función f(x), si en el rango de dicha función f(x) se acerca a un número L arbitrariamente, a medida que en el dominio x se acerca a un valor c, desde valores mayores y menores a c, entonces el límite de f(x) cuando x se aproxima a c, es L. 

 A pesar de ser una definición entendible, para ser formal debe definirse ¿Qué es estar cerca de (o acercarse a) L o c? 

 Aunque en la mayoría de casos se da primero la definición formal, y luego se explica, en este post la construiremos desde cero para que sea más fácil de entender.

Eje x :

Téngase una función f(x), supóngase un número c en el eje x que puede o no pertenecer al dominio de f(x):

Ahora, cuando se dice “a medida que en el dominio x se acerca a un valor c, desde valores mayores y menores a c” en la definición informal, para definir qué es estar cerca de c, especificaremos primero dos intervalos de distancia δ | δ∊ℝ. El primero empezará en c sin incluirla y se extenderá hacia los números mayores que c, una distancia de δ, o sea que acabará en c+δ. El segundo empezará en c, sin incluirla, y se extenderá hacia los números menores que c, una distancia de δ, o sea que acabará en c-δ.

Los dos intervalos son (c-δ, c) y (c, c+δ). A partir de esto podemos decir que un número x está cerca de c si, o x pertenece a (c-δ, c), o x pertenece a (c, c+δ). Esto se expresa, con una salvedad, con notación de desigualdades, así : .

Pero la definición formal de límite requiere que se exprese en términos de δ, lo cual la hace menos entendible a simple vista, pero más compacta y sencilla a la hora de demostrar, por lo que se hace lo siguiente:

• se resta c en ambas desigualdades, lo que hace que se eliminen las que están al lado de las δ, quedando así : 
• Quienes recuerden las desigualdades con valores absolutos recordarán la propiedad: , Esto significa que, para dejar en términos de δ lo que está dentro del círculo morado, se puede expresar como .

Lo que queremos expresar , en notación de intervalos es , pero al decir , estamos dando la posibilidad de que x sea igual a c, o sea que estaríamos expresando . Debemos hacer que   exprese que x no puede ser igual a c, así :

• x no puede ser igual a c  debe ser expresado en forma de desigualdad. ¿qué queremos decir cuando decimos que x no es igual a c? que x es o mayor que c, o menor, mas no igual. o sea que al decir , también queremos decir .
• Se puede restar c de ambas desigualdades, dando como resultado .
• Quien recuerde las desigualdades con valor absoluto recordará que . Acá parece haber un inconveniente: los dos extremos de la desigualdad no son el otro multiplicado por -1, ¿o sí? sucede que 0 no es positivo, ni tampoco es negativo, de hecho , porque 
• 
• 
• por lo que

Esto hace posible que   se puede expresar como .

• Al ver  y  , se denota que es posible juntarlo todo en una sola desigualdad :

Eje y : 

Ahora, al ver cómo responde el eje y a lo que sucede en el eje x, nos encontraríamos con esto:

Para los valores que existen en los intervalos (c-δ, c) y (c, c+δ), siempre hay un reflejo en el rango, y el intervalo que contiene estos valores también contiene a L, y todos estos valores del reflejo se acercan a L. Para establecer qué es estar cerca de L, también se recurrirá a intervalos.

Cuando se dice “en el rango de dicha función, f(x) se acerca a un número L arbitrariamente” en la definición informal, para establecer qué es estar cerca de L se definirá un intervalo parecido a los dos que rodean c, pero en este caso medirá 2ε, ε hacia los menores que L, y ε hacia los mayores que L, o sea que el intérvalo empieza en L-ε y acaba en L+ε, esto se puede describir con notación de intervalos (L-ε, L+ε) , y se dirá que un número f(x) es cercano a L si pertenece a este intervalo, o sea si L-ε < f(x) < L+ε. Cabe aclarar que ε debe coincidir o estar dentro de los valores que son reflejo de los que están en (c-δ, c) y (c, c+δ). Al igual que con δ, este intervalo debe estar expresado en términos de ε, para lo que se procede así :

• En  se elimina L restándola de ambas desigualdades 
• Se vuelve a aplicar  para reescribir lo que está en el círculo, así

Con esto, casi hemos terminado de armar la definición formal de límite, la cual es:

• Para todo ε>0, Existe δ>0 tal que 

Y se puede ver también como:

• 
• 

Las partes subrayadas en rojo ya las conocemos, pero ¿por qué se organizan así?

Sucede que un condicional tiene la forma  y se lee “s, entonces n”. A s se le llama condición suficiente, y a n condición necesaria. Esto significa que s no puede ser verdadera, a menos que n lo sea, esto lo refleja el famoso:

Lo mismo sucede con un límite; así un número x se acerque a c en el dominio, si no hay un número f(x) acercándose a L en el rango, entonces no existe el límite, esto hace que sea una condición necesaria, por lo que en , va en n. Para explicar por qué  es suficiente, se deben mostrar casos de límites con algunas posibles combinaciones de valores de verdad de un condicional.

• 

Es verdadero ya que al x acercarse a 2, f(x) se acerca a 4, o sea:

• 

es verdadero, ya que x sí se acerca a 0, pero es falso debido a que f(x) nunca se acerca a 12, o sea :

lo cual es una falacia ya que:

Al ver estos ejemplos nos damos cuenta que el sólo hecho de que x se acerque a c no garantiza que exista un límite, pero siempre que haya un límite, x se va a acercar a c.

Conclusión :

La definición formal de límite es :

• Para todo ε>0, Existe δ>0 tal que 

La diferencia con la dada anteriormente, y lo que la hace formal, es que ésta define, usando intérvalos qué es estar cerca de c y qué es estar cerca de L.

Ésta definición se la debemos a Agustin Louis Cauchy, y se le conoce como definición ε-δ de límite.

Aún así, ésta no es la única definición de límite, y cuando Newton y Leibniz inventaron el cálculo, ellos no conocían esta definición; Ellos usaban algo conocido como infinitesimales o fluxiones, los cuales fueron considerados como poco rigurosos hasta que se descubrió el análisis no-estándar, el cual los formalizó. Se invita al lector a investigar sobre estas definiciones.


En la parte 3 de la serie, se explicará como demostrar un límite usando la definición ε-δ.