*Para entender este post es esencial entender la definición ε, δ de límite. En la parte 2 de la serie "¿Qué es un límite?", se explica esta definición.
Más de "¿Qué es un límite?" :
En la parte 2 de la serie "¿Qué es un límite?" se habló sobre la definición ε, δ de límite, creada por Agustin Louis Cauchy, con proposito de formalizar qué es un límite en una época en la que no se consideraba que los concepto de fluxiones o infinitesimales fueran lo suficientemente rigurosos.
En esta parte, la número 3, se enseñara cómo se puede demostrar un límite usando esta definición. Para ello se recurrirá a ejemplos con casos particulares, los cuales se demostraran de forma directa, usando el método de deducción natural, es decir, usar un n-número de premisas para llegar a una conclusión:
- Funciones lineales:
cuya definición es :
Básicamente lo que se hará es operar el consecuente |(3x+8)-2|<ε, hasta hacer que lo que está entre los signos de valor absoluto, se convierta en lo que esta entre dichos signos en el antecedente, en éste caso 0<|x-(-2)|<δ :
Se parte con el antecedente, condición suficiente, hipótesis, como prefiera llamarlo.
Se continúa agregando el consecuente, condición necesaria, Tesis.
Ahora que la expresión dentro del valor absoluto del consecuente es igual a la del consecuente, vemos que 
.
.
Esto nos lleva a concluir :
Es decir, si elegimos un valor para δ para formar el intervalo (c+δ) el rango responderá haciendo un intervalo (L+ ε). el valor de δ siempre será el valor de ε dividido entre 3.
Ahora, debemos demostrar precisamente eso .
.
Lo cual se hará de ésta forma.
Se vuelve a llevar el consecuente a la forma del antecedente.
se toma el antecedente y se hace una deducción que es bastante obvia, si |x+2|<δ, entonces se puede multiplicar por 3 a ambos lados de la desigualdad, quedando 3|x+2| < 3δ.
Ahora, como se puede remplazar δ en 3|x+2| < 3δ por un ε/3
se puede remplazar δ en 3|x+2| < 3δ por un ε/3
Esto hace que se cancele el 3 que multiplica y el del denominador.
Haciendo que se pueda dividir 3 en ambos lados de la desigualdad, lo cual nos lleva a:
Que era precisamente lo que se quería demostrar.
Y así se llega al final de la demostración.
Así se vería sobre el papel :
- Funciones cuadráticas:
Para demostrar límites de polinomios grado 2, trabajaremos:
Cuya definición es:
Se procederá como en el caso del polinomio grado 1, operando el consecuente |(3x^2-x)-10|<ε, hasta hacer que lo que está entre los signos de valor absoluto, se convierta en lo que esta entre dichos signos en el antecedente, en éste caso 0<|x-2|<δ. Aún así, para los casos de polinomios de grado n | n>1, se deben hacer algunos pasos más, ya se verá por qué.
Se parte con el antecedente, condición suficiente, hipótesis, como prefiera llamarlo.
Se continúa agregando el consecuente, condición necesaria, Tesis.
Se factoriza el consecuente (no se muestra cómo, ya que está fuera de los propósitos del post).
Ahora que la expresión dentro del valor absoluto del consecuente es igual a la del consecuente, vemos que es parecido a de la demostración con polinomios lineales, el problema surge con el valor absoluto; ¿qué se debe hacer para "eliminarlo" del valor absoluto?
es parecido a de la demostración con polinomios lineales, el problema surge con el valor absoluto; ¿qué se debe hacer para "eliminarlo" del valor absoluto?
Lo que haremos será, primero tomar el antecedente, y convertirlo en la expresión que está en el denominador de
Para esto vamos a considerar que δ es menor o igual a 1; es decir, vamos a considerar que alrededor de c, que en éste caso es 2, se forman 2 intérvalos (c-2, c) y (c, c+2), se podría elegir cualquier número pero es recomendable que se elija alguno que pertenezca al intervalo (0,1]; se procede de la siguiente forma:
.A continuación se procede a convertir
en
.
Se elige en esta última, ya transformada, el límite superior del intérvalo:
ese límite se remplaza en el denominador de , de esta forma:
, de esta forma: 
para concluir :
Es decir, el valor que va a tomar δ para crear los intervalos alrededor de c va a ser el menor entre 1, y el valor de ε dividido en 14 partes.
Ahora se debe demostrar que δ puede ser igual a 1 o a ε/14. Así :
Primero se demostrará para ε/14:
Si δ es igual a ε/14, como se selecciona el mínimo, eso significa que 
.
.
Se toma el antecedente, y como delta es igual a ε/14, se remplaza.
Con lo cual queda demostrado.
Ahora se debe hacer para δ=-1.
Como se debe elegir el mínimo, si δ = 1, entonces 1 es menor a ε/14.
ya que δ = 1, δ se puede remplazar con 1, el cual es menor que ε/14.
Se usa la propiedad : si a<b y b<c, entonces a<c.
Si se va a la demostración de , entonces se verá que en P2:
, entonces se verá que en P2:
cuyo consecuente es igual al de P3, de ésta, esto significa que todo lo que sigue es igual.
Por lo tanto, se demuestra que:
Y eso nos lleva a demostrar que:
Así se vería sobre papel.
- Funciones con raíz cuadrada :
Cuya definición es:
Al igual que en los anteriores casos, y esto aplica para todos los demás, operaremos la expresión entre signos de valor absoluto del consecuente, hasta convertirla en la del antecedente.
Se parte con el antecedente, condición suficiente, hipótesis, como prefiera llamarlo.
Se continúa agregando el consecuente, condición necesaria, Tesis.
Muchas veces se requerirá multiplicar una expresión con una raíz por otra expresión racional que contenga en el numerador y el denominador, sus conjugados.
Se usa para la multiplicación con el numerador, el caso (a+b)(a-b) = a^2-b^2.
Ahora que se ha llegado a transformar la expresión con valores absolutos, se debe proceder como en el ejemplo de funciones polinomiales de segundo grado, transformando la expresión con valores absolutos que multiplica a ε, en una expresión sin. Se procederá igual que en el ejemplo de funcion cuadrática.
Se llega a la conclusión :
Ahora, se debe demostrar que δ = 1, o δ = ε*{ [ √(5)+2 ] / 2 }.
Se procede como en el ejemplo ya mostrado de la cuadrática:
Por lo que se concluye:
Ahora se demuestra que δ=1.
Se ve que está última es igual a por lo que se puede concluir
por lo que se puede concluir
Lo cual lleva a la conclusión final :
Conclusión:
Las demostraciones usando definiciones ε, δ de límites se dividen en 2 grandes partes:
- Encontrar el valor de δ en términos de ε.
- Demostrar que δ se puede expresar en los términos de ε encontrados.
El primer desarrollo requiere transformar la expresión que está entre signos de valor absoluto del consecuente, a la que está en el antecedente; Con polinomios de grado 1 es relativamente sencillo, pero en otros casos, se obtendra ε multiplicando o dividiendo una expresion con valor absoluto, a la cual se debe llegar transformando la expresion entre signos de valor absoluto del antecedente, a ésa que multiplica o divide a ε, considerando que δ es algún número en el intervalo (0,1], para posteriormente reemplazar la expresión que multiplica o divide a ε, por el límite superior del intervalo en el que ésta se encuentra después de ser transformada. Para así, al final concluir que δ es igual o al valor que se le asigno arbitrariamente en (0,1], o el encontrado en términos de ε.
Para el segundo desarrollo, también se aplica que es más sencillo para funciones de grado 1, que otras. Pero, esencialmente, consiste en despejar δ del antecedente, expresándolo en el término encontrado de ε.
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